El circuito que vamos a simular es el siguiente:
Análisis Teórico
Luego de analizar la malla tenemos que:
Aplicándole
Dándole forma al denominador:
Sabemos que, en general, la función de transferencia de un sistema de segundo orden tiene su denominador de la forma:
De ahí tenemos que:
Una vez que tenemos estos datos, ya podemos calcular los valores de R, L y C de acuerdo a las condiciones requeridas.
En esta oportunidad debemos obtener (por indicación del profesor) un sistema críticamente amortiguado, es decir, con un índice de amortiguamiento ζ = 1.
Pero debemos ser cuidadosos al momento de elegir valores, ya que no todos los valores que obtengamos serán comerciales. Por ello se ha optado por elegir los valores en el siguiente orden:
Primero, la bobina, por ser el elemento con menor cantidad de valores comerciales, ya que usualmente sólo se encuentran valores en µH, y por no poder colocar varias en serie y paralelo sin alterar el funcionamiento del sistema (inductancia mutua).
Segundo, el condensador, tiene mayor cantidad de valores comerciales que la bobina, y se puede encontrar valores que van desde los pF hasta los µF (inclusive se pueden encontrar condensadores variables), además que se pueden colocar en serie y paralelo sin alterar el sistema.
Tercero, la resistencia, por ser el elemento con mayor cantidad de valores comerciales y además porque podemos emplear un potenciómetro y variar el valor de la resistencia según nos convenga.
Teniendo en claro los pasos a seguir, procederemos a diseñar el circuito:
Para empezar, elegiremos una bobina de 560 µH, por ser el mayor valor comercial disponible.
Ahora, iremos probando diferentes valores de condensadores para ver con cual de ellos obtenemos un valor de resistencia adecuado:
Condensador (C) | Resistencia (R) |
0.1 µF | 149.67 Ω |
0.01 µF | 473.286 Ω |
22 pF | 10 KΩ |
Si despreciáramos los efectos de la inductancia mutua en el circuito, podríamos colocar dos bobinas de 560 µH en serie y obtener una inductancia equivalente de 1.12 mH. Podemos obtener valores para C y R como en el caso anterior.
Condensador (C) | Resistencia (R) |
0.1 µF | 211 Ω |
0.01 µF | 669.328 Ω |
22 pF | 14.27 KΩ |
En este caso sólo emplearemos una bobina de 560 µH y elegiremos el condensador de 0.1 µF, ya que una resistencia de 150 ohmios ya es algo aceptable.
Por lo tanto los valores elegidos son:
L = 560 µH C = 0.1 µF R = 149.67 Ω
Reemplazamos estos valores para hallar la función de transferencia del sistema:
Para el sistema con retroalimentación habría que hacer una modificación.
Como el sistema ahora está retroalimentado con ganancia unitaria la nueva función de transferencia F.T.’ estará expresada por:
Obteniéndose:
Si nos fijamos bien en el denominador, notaremos que el último termino (ωn) ha aumentado, pero el segundo término (2ζωn) no se ha alterado. Esto se interpreta como que el valor de ζ ha disminuido, es decir que ahora tenemos un sistema subamortiguado y no uno críticamente amortiguado como lo era en lazo abierto.
Simulación
Simulación en Matlab
Para el caso del sistema en lazo abierto:
>> num=[17857142860];
>> den=[1 267267.857 17857142860];
>> sys1=tf(num,den)
Transfer function:
1.786e010
-----------------------------
s^2 + 2.673e005 s + 1.786e010
> figure(1),step(sys1)
Para el sistema en lazo cerrado:
>> sys2=feedback(sys1,1)
Transfer function:
1.786e010
-----------------------------
s^2 + 2.673e005 s + 3.571e010
>> figure(2),step(sys2)
Simulación en Simulink
Para el caso del sistema en lazo abierto:
Para el sistema en lazo cerrado:
Simulación en Proteus - Isis
Armamos nuestro circuito conformado por:
Un generador de señales.
Una resistencia de 149.67Ω.
Una bobina de 0.56 mH
Un condensador de 0.1 µF
En el generador de señales se recomienda emplear una frecuencia de 100Hz para evitar que la reactancia inductiva se eleve demasiado.
También empleamos la herramienta gráfica “Análisis interactivo”, que sirve para graficar una magnitud en función del tiempo (algo así como un trazador de curvas) y que la gráfica obtenida es más clara que la que se obtiene al emplear el osciloscopio del simulador.
Además, la gráfica obtenida se puede ampliar y analizar detalladamente.
Para el caso del sistema en lazo cerrado se deberá emplear amplificadores operacionales de manera que podamos restar el voltaje de salida de la entrada:
Hay varias maneras de obtener la retroalimentación, pero una de las más sencillas es usando un solo OPAMP como amplificador diferencial
Al igual que en el sistema de lazo cerrado, le aplicamos la herramienta gráfica “Análisis interactivo” para ver los cambios de la señal con respecto del tiempo:
RESULTADOS EXPERIMENTALES
Lo primero que podemos recalcar de la experiencia en el laboratorio es que no se contó con un detalle técnico respecto a los potenciómetros empleados. Los potenciómetros usados en la experiencia son potenciómetros de precisión (conocidos también como potenciómetro multi-vuelta), que presentan la ventaja de cambiar de valor resistivo muy lentamente al girar su perilla. Sin embargo, cuando se llega a valores alrededor de los 100 Ω y se sigue disminuyendo, estos potenciómetros dejan de ser precisos ya que sus valores cambian más rápidamente (como los potenciómetros logarítmicos que se usan comúnmente).
Debido a este inconveniente se tuvo que cambiar los valores de los elementos que se usaron en el diseño teórico, con el fin de emplear un valor resistivo lo suficientemente grande como para que el potenciómetro conserve su precisión.
Los nuevos valores empleados fueron:
L = 560 µH C = 22 pF R = 10 KΩ
Estos valores ya habían sido calculados en el informe previo, en caso de que el circuito teórico escogido no funcionara, por ello ya estaba listo para implementarse.
Sin embargo, por indicación del profesor, y guiándonos por la gráfica vista en el osciloscopio, se cambió el valor resistivo del potenciómetro a 3.057 KΩ. Además, luego de medir el condensador y la bobina con el puente de impedancias se encontró una pequeña diferencia entre los valores medidos y los valores nominales.
Al final los valores medidos de los elementos fueron:
L = 562 µH C = 23 pF R = 3.057 KΩ
Notamos que la resistencia crítica ha cambiado considerablemente: ¡Casi 7 KΩ de diferencia!
La razón que encontramos para esta gran discrepancia entre la teoría y la práctica es que muy probablemente el campo magnético generado por la corriente eléctrica que pasa por los cables conectores, y tal vez también algunas señales de ruido, generaron en la bobina un voltaje inducido no deseado y esto fue lo que alteró nuestro sistema.
Bueno, continuando con el análisis experimental se cambió el valor resistivo del potenciómetro con el fin de convertir el circuito en un sistema sub-amortiguado.
El nuevo valor elegido para el potenciómetro fue: R= 840 Ω
Luego de esto, se tomó medidas de algunos intervalos de tiempo fundamentales en un sistema sub-amortiguado, como son:
Tiempo de atraso (td)
Tiempo de subida (tr)
Tiempo de pico (tp)
Tiempo de establecimiento (ts)
Los resultados obtenidos fueron:
Tiempo de atraso td | De 0% a 50% : 400 ns |
De 10% a 50% : 320 ns | |
Tiempo de subida tr | De 0% a 100% : 520 ns |
De 10% a 90% : 360 ns | |
Tiempo de pico tp | 960 ns Con un sobrepaso máximo de 40% |
Tiempo de establecimiento ts | Criterio del 2% : 4.64 µs |
Criterio del 5% : 3.00 µs |
Ahora, podemos simular el sistema en MATLAB para comparar los resultados obtenidos experimentalmente con los resultados teóricos.
>>L=562*(10^(-6));
>>C=23*(10^(-12));
>>R=840;
>>num=[1/(L*C)];
>>den=[1 R/L 1/(L*C)];
>>sys1=tf(num,den)
Transfer function:
7.736e013
-----------------------------
s^2 + 1.495e006 s + 7.736e013
>>figure(1),step(sys1)
Los resultados entregados por MATLAB fueron
iempo de atraso td | De 0% a 50% : 122.78 ns |
De 10% a 50% : 72.78 ns | |
Tiempo de subida tr | De 10% a 90% : 125 ns |
Tiempo de pico tp | 365 ns Con un sobrepaso máximo de 76.4% |
Tiempo de establecimiento ts | Criterio del 2% : 5.08 µs |
En todo caso se pudo deber a un error de apreciación de la gráfica en la pantalla del osciloscopio. Sin embargo vemos que para el caso del tiempo de establecimiento, donde las unidades están en microsegundos, el resultado experimental se aproxima mucho al teórico.
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